☆ Fonction de Gumbel

La loi de Gumbel est utilisée en climatologie pour estimer les valeurs extrêmes de phénomènes. Elle utilise la fonction  \(f\) définie sur  \(\mathbb R\) par  \(f(x)=\dfrac{1}{b}\exp\left(\dfrac{a-x}{b}-\exp\left(\dfrac{a-x}{b}\right)\right)=\dfrac{1}{b}\text e^{\frac{a-x}{b}-\text e^{\frac{a-x}{b}}}\)
où  \(a\) et \(b\)  sont deux réels strictement positifs.

1. Étude d'un cas particulier : dans cette question, on pose \(a=0\)  et \(b=1\)  , c'est-à-dire  \(f(x)=\text e^{-x-\text e^{-x}}\) . Soit \(g\)  la fonction définie par \(g(x)=-x-\text{e}^{-x}\) .
    a. Calculer \(g'(x)\) .
    b. En déduire \(f'(x)\)  puis démontrer que \(f\)  est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}_{+}\)  et strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{-}\) .
    c. Étudier les limites de  \(f\) en \(-\infty\)  et en \(+\infty\) .
    d. Dresser son tableau de variations.

2. Cas général : dresser le tableau de variations de \(f\) .